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Posted by on 17 gennaio 2012 in Generico | 7 comments

E se il tempo non esistesse?

 Cosa intendiamo quando parliamo di tempo?

In fisica il tempo è una grandezza fondamentale la cui unità di misura è il secondo. Come tutte le grandezze fisiche essa deve essere misurata con degli strumenti che in questo caso sono ovviamente gli orologi.

Per sapere quanto tempo è passato, cioè per misurare il tempo, guardiamo un orologio. La posizione delle lancette misura quanto tempo è passato da un certo istanzte iniziale. Ma come faccio a sapere se il mio orologio misura realmente il tempo "vero" ? Lo posso confrontare con "l'ora esatta" diramata da un centro ufficiale, dove c'è un orologio molto più preciso del mio. Ma ancora: come faccio a essere sicuro che quell'orologio misura il tempo "vero"? Lo confronto con un altro orologio ancora ...
E' chiaro che c'è un problema.

Tutto quello che noi osserviamo sono lancette di orologi, numeri che aumentano, oggetti che si muovono (come il moto apparente del sole nel cielo). Non vediamo mai il "vero tempo". Vediamo solo che qualcosa si muove o cambia.

Newton, il padre della fisica assieme a Galileo, aveva compreso tutto ciò con grande chiarezza scrivendo che l'esistenza della variabile tempo è solo un' "ipotesi" che mette ordine nelle nostre osservazioni sui movimenti degli oggetti. In pratica, osserviamo dove si trova un oggetto quando un altro è in un certo luogo (per es. quando le lancette del mio orologio sono in verticale o quando il sole è al tramonto ...) e per convenienza immaginiamo una variabile fisica "t" che ordini tutto questo, ma ciò che osserviamo sono solo posizioni di oggetti, non il tempo in sè.

Prendendo sul serio questa osservazione, è chiaro che potremmo fare a meno di parlare di tempo e fare riferimento solo alla posizione del solo o alla posizione delle lancette o a un numero su un display. Scomodo ma possibile.

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Nell'ambito di questa ricerca, si è affacciata un'idea a prima vista vertiginosa: forse il tempo non esiste. L'idea è apparsa per la prima volta nel 1967 in un articolo del fisico americano Bryce DeWitt, scomparso da poco. Combinando relatività generale e meccanica quantistica, DeWitt riuscì a derivare l'abbozzo di un'equazione capace di descrivere le proprietà quantistiche dello spazio, ma nell'equazione è sparita del tutto la variabile t, il tempo. La matematica sembra indicare che per descrivere il mondo a livello elementare, non è necessario usare il tempo. Si potrebbe cioè descrivere il mondo a livello fondamentale dando l'evoluzione delle variabili una rispetto all'altra invece che rispetto al tempo. Facile da capire? No. La concezione usauale del tempo è radicata nella nostra esperienza quotidiana e profondamente sedimentata nella nostra struttura concettuale. Ma difficile non vuol dire impossibile: la difficoltà di cocepire un mondo senza tempo non è poi così diversa dalla difficoltà che hanno avuto i nostri antenati a immaginare una Terra sferica con gli abitanti degli antipodi a testa in giù, dove non c'è più un alto o un basso o un veloce o lento uguale per tutti. Aveva ragione Kant a osservare che tempo e spazio più che essere nella natura sono forme a priori del nostro pensiero che tenta di conoscerle, ma aveva torto a concludere che fossero immutabili: le forme del nostro conoscere crescono e si modificano con la nostra conoscenza. Il tempo, il "fanciullo che gioca e muove le pedine" come lo chiamava Eraclito, non è quel fluire uguale a se stesso che Newton ha posto alla base della sua fisica. Forse il fluire del nostro tempo nasce dalla nostra interazione con il mondo: a un livello di base la nozione di tempo potrebbe non servire. Carlo Rovelli 15 gennaio 2012 Centre de Physique Theorique de Luminy

 

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Posted by on 11 gennaio 2012 in Astronomia | 0 comments

I pianeti sono tantissimi

Trovare un pianeta in orbita intorno ad una stella è la regola e non l'eccezione

11 gennaio 2012

Un'equipe internazionale, che include tre astronomi dell'ESO (European Southern Observatory), ha usato la tecnica delle "microlenti gravitazionali" per misurare quanto siano diffusi i pianeti nella Via lattea. Dopo una ricerca durata sei anni in cui ha valutato milioni di stelle, l'equipe ha concluso che trovare un pianeta intorno ad una stella è la regola e non l'eccezione. I risultati saranno pubblicati dalla rivista Nature il 12 gennaio 2012.

ESO

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Negli ultimi 16 anni, gli astronomi hanno confermato la scoperta di più di 700 esopianeti [1] e hanno iniziato a analizzarne lo spettro (eso1002) e l'atmosfera (eso1047). Anche se studiare le proprietà di questi singoli esopianeti è innegabilmente importante, rimane una domanda fondamentale: quanto sono comuni i pianeti nella Via Lattea? La maggior parte degli esopianeti oggi noti sono stati trovati osservando l'effetto dell'attrazione gravitazionale esercitata dal pianeta sulla sua stella madre o catturando il passaggio del pianeta davanti alla stella che ne affievolisce un poco il bagliore. Entrambe queste tecniche sono più sensibili ai pianeti massicci, o vicini alla stella, o entrambi. Molti pianeti vengono perciò persi. Un'equipe internazionale di astronomi ha cercato gli esopianeti con una tecnica completamente diversa -- le microlenti gravitazionali -- che può scoprire pianeti su un ampio intervallo di masse e soprattutto quelli che orbitano lontani dalla stella. Arnadu Cassan (Institut d?Astrophysique di Parigi), primo autore dell'articolo su Nature, spiega: "Abbiamo cercato per sei anni le prove della presenza di esopianeti con osservazioni di microlenti. Questi dati mostrano sorprendentemente che i pianeti sono più comuni delle stelle nella nostra galassia. Abbiamo trovato anche che i pianeti più leggeri, come super-Terre, o Nettuni freddi, devono essere più frequenti di quelli più pesanti". Gli astronomi hanno usato osservazioni, fornite dai gruppi PLANET [2] e OGLE [3], in cui gli esopianeti sono rivelati dal modo in cui il campo gravitazionale della stella ospite, combinato con quello dei possibili pianeti, funge da lente, aumentando la luce di una stella sullo sfondo. Se intorno alla stella che funge da lente è in orbita un pianeta, questo può contribuire in modo significativo all'effetto di aumento della luce della stella di fondo. Jean-Philippe Beaulieu (Institut d'Astrophysique di Parigi), a capo della collaborazione PLANET, aggiunge: "La collaborazione PLANET è stata istituita per seguire eventi di microlente gravitazionale con una rete di telescopi mondiale localizzata nell'emisfero australe, dall'Australia al Sud Africa, al Cile. I telescopi dell'ESO hanno contribuito in modo significativo a queste ricerche". Le microlenti sono uno strumento potente, con il potenziale per rivelare esopianeti che non potranno mai essere trovati in altri modi. È però necessario che la stella di fondo e la stella lente siano casualmente allineate perchè si verifichi un evento di microlente. Per individuare il pianeta durante l'evento è necessario inoltre anche l'allineamento dell'orbita del pianeta stesso. Anche se trovare un pianeta per mezzo dell'effetto di microlente non è per nulla facile, per le ragioni suddette, nei sei anni di dati di PLANET e di OGLE usati nell'analisi sono stati rivelati tre esopianeti: una super-Terra [4] e due pianeti di massa confrontabile con Nettuno e Giove. Per quanto riguarda gli standard delle microlenti questo è un risultato davvero impressionante. Scoprendo tre pianeti gli astronomi sono stati fortunatissimi per aver fatto centro nonostante le scarse probabilità, oppure i pianeti sono così abbondanti nella Via Lattea che il risultato era praticamente inevitabile [5]. Gli astronomi hanno quindi combinato le informazioni sui tre esopianeti osservati con le sette osservazioni precedenti, così come con l'enorme numero di "non-rivelazioni" presente nei sei anni di dati -- le non-rivelazioni sono altrettanto importanti per l'analisi statistica e sono molto più numerose. In conclusione, una ogni sei stelle studiate ospita un pianeta di massa simile a quella di Giove, la metà ha un pianeta di massa pari a Nettuno e due terzi ospitano super-Terre. La ricerca era sensibile a pianeti che si trovano tra i 75 milioni e 1,5 miliardi di chilometri dalla stella (nel Sistema Solare questo corrisponde a tutti i pianeti tra Venere e Saturno) e con masse che vanno da 5 volte la Terra fino a dieci volte Giove. Combinando questi risultati si giunge alla conclusione che il numero medio di pianeti intorno ad una stella sia maggiore di uno: essi sono la regola piuttosto che l'eccezione. "Pensavamo che la Terra fosse unica nella nostra galassia. Ora sembra che ci siano letteramente miliardi di pianeti di massa simile a quella della Terra in orbita intorno a stelle della Via Lattea", conclude Daniel Kubas, co-autore dell'articolo.

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Posted by on 5 gennaio 2012 in Matematica | 0 comments

I frattali

Nel marzo del 1980 il modernissimo elaboratore centrale del centro di ricerca dell'IBM, stava inviando a una vecchia stampante ad aghi i suoi comandi. L'apparecchio cominciò a disseminare una serie di punti neri nelle zone più impensate del foglio di carta. Quando ebbe finito, il risultato assomigliava a una manciata di polvere sparsa sulla pagina. Benoit Mandelbrot non credeva ai propri occhi: doveva essere un risultato importante, ma non capiva che cosa fosse veramente. L'immagine prendeva forma davanti a lui nello stesso modo in cui una stampa in bianco e nero emerge da un bagno di sviluppo fotografico. Era la prima apparixione di quello che sarebbe diventato l'emblema del mondo dei frattali: l'insieme di Mandelbrot. Si trattava di matematica sperimentale per eccellenza, con un approccio che prevedeva per i matematici l'utilizzo di banchi di laboratorio analoghi a quelli dei fisici e dei chimici: anche loro potevano finalmente effettuare degli esperimenti. Si prospettavano nuove visioni. Era in atto un'emancipazione dall'arido mondo della triade “definizione, teorema, dimostrazione”, anche se in seguito si sarebbe verificato un ritorno al rigore del ragionamento razionale.

Ma cos'è l'insieme di Mandelbrot?

Pur essendo straordinariamente ricco di dettagli (infinitamente ricco, sembra) e molto bello a vedersi, esso si origina iterando una formula semplicissima: si prende l'espressione z2 + c e si sceglie un valore a caso di c, diciamo 0.5. Lo si sostituisce nell'espressione precedente con z = 0. Il risultato ottenuto lo si ri-sostituisce a z e così via iterativamente. Se dopo molte iterazioni (50-100) si ottiene un numero “piccolo” si colora il punto c del foglio di nero, altrimenti se l'iterazione diverge tendendo all'infinito, si lascia bianco. Un particolare essenziale di tutto ciò è che c è in generale un numero complesso del tipo x +iy e non solo reale. Nell'esempio di prima se c = 0.5 l'iterazione diverge verso più infinito e quindi questo punto del foglio è bianco, mentre se c = - 0.5 l'iterazione converge a -0.366.... e quindi -0.5 va colorato di nero. Altri punti dell'insieme di Mandelbrot non convergono né divergono ma saltellano da un punto all'altro come pulci impazzite dentro una gabbia. L'insieme di Mandelbrot è il padre di tutti i frattali e quindi presenta la caratteristica fondamentale dei frattali: l'autosomiglianza.

Osservando l'insieme a distanza sempre più ravvicinata, non si riesce a stabilire qual è il fattore di ingrandimento perchè si vedono sempre le stesse cose ossia altri insiemi di Mandelbrot identici a quelli precedenti in un continuo senza fine apparente.

Un altro celebre frattale è la celeberrima curva di Koch che prende il nome dal matematico svedese N. F. H. von Koch ed è stata la prima ad essere descritta. Questa curva frattale, detta anche romanticamente “fiocco di neve” si ottiene suddividendo ciascun lato di un triangolo equilatero in tre parti uguali e e sostituendo ogni segmento centrale con i due lati di un triangolo equilatero. Una proprietà curiosa della curva di Koch è che possiede un'area finita perchè può essere inscritta dentro un rettangolo ma ad ogni stadio di generazione diventa più lunga di un fattore 4/3 per cui risulta avere un perimetro infinito!

Felix Hausdorff guardava le dimensioni con occhi nuovi. Era una questione di scala. Se un segmento viene ingrandito di un fattore 3 diventa 3 volte più lungo. Poiché 3 = 3^1 si dice che un segmento ha dimensione 1. Se invece si ingrandisce il lato di un quadrato di un fattore 3, la sua area aumenta di 9 volte. Poiché 9 = 3^2 la dimensione di un quadrato è 2. In generale la dimensione di Hausdorff D di un oggetto viene definita in questo modo:

N = f^D

Per la curva di Koch si ha che se aumentiamo di un fattore 3 (f=3) la lunghezza del segmento iniziale, la lunghezza della curva aumenta di 4 volte (N=4). Quindi D è quel numero che risolve l'equazione esponenziale:

4 = 3^D

Come si vede 1 < D < 2 e quindi non è intera, ma decimale o meglio frattale. La soluzione dell'equazione precedente è formalmente:

D = log4 / log3 = 1.26....

La curva di Koch ha una dimensione superiore a quella di una linea ma inferiore a quella di un piano! La dimensione di Hausdorff costituisce il cuore della definizione di frattale enunciata da Mandelbrot: un frattale è un insieme di punti il cui valore D non è un numero intero. Questa diventa così la proprietà caratteristica e fondamentale di tutti i frattali.

Le potenziali applicazioni dei frattali spaziano in una grande varietà di ambiti, come la descrizione della crescita delle piante o della formazione delle nuvole. Lo sviluppo di organismi marini come coralli e spugne è già stato descritto in termini di frattali ed è stato dimostrato che l'espansione delle città moderne è analoga alla crescita iterativa dei frattali. In medicina i frattali sono stati usati per modellare l'attività cerebrale, mentre in ambito economico si è indagata la natura frattale dell'andamento dei titoli e dei mercati azionari e valutari. Le ricerche di Mandelbrot hanno spalancato le porte di un nuovo mondo che per buona parte è ancora inesplorato.

Per approfondire scarica la presentazione sui FRATTALI.

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Posted by on 4 gennaio 2012 in Matematica | 0 comments

Il Triangolo di Tartaglia

Del triangolo di Tartaglia (TdT) si parla già in alcuni frammenti scritti in sanscrito nel 500 a.C. Ne troviamo traccia anche nel mondo arabo intorno all'anno 1000 e in Cina nel 1300. In Italia il primo che ne parla e lo studia a fondo è il famoso matematico Nicolò Fontana (1499-1557 detto Tartaglia per la sua balbuzie acquisita a 12 anni in seguito a un trauma violento) applicando le sue proprietà al calcolo delle probabilità.

Ma vediamo come è fatto:

    1                    riga 0

1  1                  riga 1

1  2  1                riga 2

1  3  3  1               riga 3

1  4  6  4  1                 riga 4

1  5  10  10  5  1            riga 5

1  6  15  20  15  6  1           riga 6

..........................................…...............................................

Lo schema del TdT si costruisce  ponendo ai lati del triangolo tutti “1” e calcolando gli elementi intermedi sommando i due numeri immediatamente soprastanti. Per esempio il 15 della riga 6 si ottiene sommando 5+10 della riga sopra.

Se è vero come disse il grande matematico G.H. Hardy, che “un matematico, come il pittore e il poeta, è un creatore di forme”, bisogna ammettere che quella del TdT è particolarmente regolare, simmetrica e … bella!

Cominciamo ad analizzarlo per riga. 110 = 1 ; 111 = 11; 112 = 121; 113= 1331 … Ogni riga è una potenza del numero 11.

Guardandolo sempre per riga, i numeri che compaiono sono i cosiddetti coefficienti binomiali di Newton ossia i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (a + b)n . Per esempio: (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 .  I coefficienti 1 2 1 sono esattamente riportati nella riga 2 che corrisponde all'esponente del binomio. E così per tutte le altre potenze!

Questi coefficienti sono anche l'espressione di qualcos'altro. Supponiamo di voler contare in quanti modi posso scegliere 0 oggetti su 2? Ovviamente 1, ossia non prendo nulla. E in quanti modi posso scegliere 1 oggetto su 2? Ovviamente 2. E in quanti modi infine posso scegliere 2 oggetti su 2? Ovviamente 1, li prendo entrambi. Bene 1 2 1 sono proprio i numeri che compaiono nella riga 2. In generale, la riga n contiene i modi con cui si possono scegliere 0, 1, ... n-1, n oggetti distinti su n disponibili. Sono le cosiddette combinazioni di n oggetti presi a k a k simboleggiate con la scritta Cn,k

Se sommiamo i numeri di ogni riga otteniamo: riga 0 -> 1 = 20 ; riga 1 -> 2 = 21; riga 2  -> 4 = 22 ; riga 3 -> 8 = 23  …. La somma dei numeri della riga n è uguale a 2n .

La prima diagonale è fatta tutta di 1. La seconda contiene tutti i numeri naturali, la terza tutti i numeri triangolari ossia tutti i numeri che contano quante palline servono per formare un triangolo equilatero (1, 3, 6, 10, …); la quarta tutti i numeri tetraedrici ossia tutti i numeri che contano quante palline servono per formare un tetraedro regolare (cioè una piramide a base triangolare: 1, 4, 10, ...) …).

Nel 1653 B. Pascal riteneva che le sue relazioni nascoste fossero così tante da non poter essere trattate in un solo libro e tanto meno in questo breve articoletto!

Buon
divertimento
con il Triangolo di Tartaglia

 

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