Il campo magnetico

Il magnetismo è affascinante e straordinariamente utile. Pensiamo a quanto il campo magnetico sia stato e sia tuttora importante.

Come si potrebbe, per esempio, fare a meno di un ventilatore in una calda giornata d'estate, o di un fanale da bicicletta alimentato dalla dinamo in una buia strada di campagna, o di uno dei tanti relè che ci aprono porte o ci accendono luci a distanza? E come avrebbero potuto orientarsi i marinai del secolo scorso in mezzo alle immensità oceaniche o come farebbero i grandi uccelli migratori a coprire migliaia di chilometri senza punti di riferimento sicuri e stabili? Ebbene tutto ciò sarebbe impossibile senza i campi magnetici.

Al campo magnetico è legata anche una sfida storica di circa 100 anni fa e precisamente quando il norvegese Roald Amundsen vinse la gara per chi raggiungeva per primo il polo Sud geografico (molto lontano da quello magnetico) contro il britannico Robert Scott.

Il primo raggiunse il polo Sud il 14 dicembre 1911, ben 35 giorni prima della spedizione di Scott. La gara ebbe però un esito tragico. La spedizione di Scott perì tra i ghiacci dell'antartide in mezzo a mille sofferenze. Uno dei tanti errori commessi da Scott fu quello di usare dei pony anziché dei cani da slitta per il trasporto della merce. I cavalli, non abituati a tali temperature estreme, morirono dopo pochi chilometri dalla partenza e gli uomini dovettero trainarsi dietro tutta l'attrezzatura e i viveri da soli spesso lasciando metà del peso per strada e per andarlo a riprendere dopo un breve tragitto.

Per approfondire, leggi l'articolo su: Aula di scienze di Zanichelli
BLOG: Scienze fisiche e naturali

Fra Camogli, scolarette e commessi viaggiatori

Il problema di Kirkman

E veniamo ora al problema di Kirkman.
Thomas Kirkman era un reverendo inglese del XIX secolo che propose nel 1850 un problema interessante chiamato delle “15 scolarette” che vanno in chiesa in 5 file di 3 tutti i giorni della settimana. Per evitare che due ragazze procedano insieme per più di una volta, bisogna organizzare in programma giornaliero. Usando i numeri da 1 a 15 per indicare le scolarette, una possibile soluzione è data dalla seguente tabella:

Tutte le altre 6 soluzioni si ottengono da questa permutando ciclicamente i primi 7 numero fra di loro (01->02; 02->03; ...06->07; 07->01), così come i numeri dall'8 al 14, mentre il 15 rimane fisso.

Il problema del commesso viaggiatore

The Traveling Salesman Problem

Il problema del commesso viaggiatore consiste nel trovare il percorso più breve che passi per tutte le città di un elenco dato e ritorni al punto di partenza. Per percorso minimo si intende quello di costo minore per ogni coppia di città. Un’altra semplificazione che si aggiunge è quella di considerare i costi per andare dalla città A alla B uguali ai costi per andare dalla B alla A. In questo caso si parla di problema simmetrico.

La semplicità della definizione del problema è ingannevole, in realtà il TSP è uno dei problemi di matematica computazionale più studiati e non se ne conosce un effettivo metodo risolutivo per il caso generale, infatti c’è in palio, per chi vi riesca, un premio di un milione di dollari promosso da il Clay Mathematics Institute. Da cinquant’anni a questa parte gli studi hanno portato allo sviluppo di vari metodi di soluzione in diversi campi dell’ottimizzazione matematica.
Il numero totale dei differenti percorsi possibili attraverso le n città è facile da calcolare: data una città di partenza, ci sono a disposizione (n-1) scelte per la seconda città, (n-2) per la terza e così via. Il totale delle possibili scelte tra le quali cercare il percorso migliore in termini di costo è dunque (n-1)!, ma dato che il problema ha simmetria, questo numero va diviso a metà.

Insomma, date n città, ci sono (n-1)!/2 percorsi che le collegano.

Si vede subito che questo numero cresce esponenzialmente all’aumentare di n, e questo è il motivo più citato per motivare la complessità del problema: non è possibile, infatti, controllare uno alla volta i singoli percorsi.

Programma di Matematica di 5Bb

1. Massimi e minimi relativi e assoluti: definizione;
2. Concavità: definizione;
3. Flesso: definizione;
4. Ricerca dei massimi e minimi e flessi orizzontali con lo studio del segno della derivata prima;
5. Ricerca dei flessi con lo studio del segno della derivata seconda;

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SECONDA   PARTE

Problemi di massimo e di minimo

Come avete sperimentato risolvendo gli  esercizi precedenti, lo studio del segno della derivata prima di una funzione derivabile, permette di trovare i suoi massimi e minimi relativi ed assoluti.

Con questa tecnica si risolve anche tutta una classe di problemi chiamati “Problemi di massimo e di minimo”. Essi possono essere di varia tipologia: geometria analitica, geometria piana o solida, fisica, economica ….

Facciamo un esempio semplice.
Fra tutti i rettangoli di perimetro dato, trovare quello di area massima.

1.  Si scrivono i dati del problema: 2p = 2 (b + h). b e h sono rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo; 2p il suo perimetro è NOTO.
2. Si scrive la funzione da massimizzare o minimizzare, in questo caso l'area del rettangolo: A=b*h.
3. Come si vede la funzione Area dipende apparentemente da 2 variabili (b e h) che però non sono indipendenti fra loro perchè deve valere la 1). Si sceglie allora di indicare con x una delle variabili (per esempio la base b) ed esprimere l'altra in funzione di x facendo uso dei dati.
4. b = x; h = p – x; si deve anche stabilire entro quale intervallo varia la x. In questo caso si ha ovviamente: 0 < x < p (rifletteteci)

Ora la funzione Area diventa: A(x) = x*(p-x).  Si cerca il valore massimo con il solito metodo.

A'(x) = -2x + p che si annulla in x = p/2, valore  in cui  la funzione ha un massimo. Notare che  0< p/2<p
Massimo per:

x = b = p/2 e h = p – x = p/2

In conclusione il rettangolo di dato perimetro, di  area massima è il QUADRATO (poichè b=h).

STUDIARE:   Teoria pagg. 160V 163V

ESERCIZI:    245, 248, 251, 255, 259, 262, 269, 284, 286 da pag 199V

M. Hack su stelle, pianeti e vita nell'Universo

Un tema sempre nuovo e affascinante.

SIAMO   SOLI   NELL'UNIVERSO ?

Questa domanda è stata sottoposta alla grande astrofisica italiana Margherita Hack ed ecco le sue risposte che non sono mai scontate o banali.

Un compleanno fra amici

 Immaginiamo di trovarci in classe e, anziché ascoltare una noiosa lezione di latino, pensiamo se e quanti compagni sono nati lo stesso giorno. A prima vista sembra molto improbabile che due alunni della stessa classe compiano gli anni lo stesso giorno, ma un calcolo diretto mostra che si ha una probabilità di più del 50% se la classe è composta da almeno 23 studenti.

Vediamo come è possibile spiegare questo apparente paradosso. La probabilità di un evento, nella sua definizione classica, è il rapporto fra i casi favorevoli e i casi possibili. La probabilità che 2 amici compiano gli anni lo stesso giorno è 1/365 perchè c'è 1 caso favorevole su 365 possibili. Di conseguenza, la probabilità che non compiano gli anni lo stesso giorno è$\Large 1 - \frac{1}{365}= \frac{364}{365}$. Aggiungiamo ora un terzo amico. La probabilità che egli compia gli anni in uno dei due giorni dei precedenti amici è 2/365 e quindi c'è la probabilità di 1- 2/365 = 363/365 che non compia gli anni lo stesso giorno. In definitiva, la probabilità composta che tutti e tre gli amici non compiano gli anni lo stesso giorno è: $\Large \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} = 99.18%�$. E' ancora alta, ma procedendo di questo passo fino al 23° compagno, si ottiene che la probabilità che due amici qualunque festeggino lo stesso giorno è del 50,7 %. Il “trucco” di questo calcolo apparentemente paradossale sta nel fatto che il compleanno può essere di qualunque con chiunque altro ed è per questo che la probabilità è già alta con solo 23 persone.

Le distribuzioni di probabilità

• Introduzione
• Binomiale
• Poisson
• Gauss
• Benford

Qual è la probabilità che su 10 lanci di una moneta escano 7 Teste e 3 Croci? E qual è la probabilità che percorrendo 50000 km in automobile si faccia 1 incidente? Infine qual è la probabilità che preso un uomo a caso esso pesi fra 70,5 e 70,9 kg? La statistica è una branca importante della matematica e di grande attualità e concretezza soprattutto in campo assicurativo. Se indichiamo con x un dato evento (per esempio uno dei tre precedenti) si chiama distribuzione di probabilità P(x) la funzione che fornisce la probabilità che tale evento x si verifichi. La probablità gode di due proprietà: è sempre un numero compreso fra 0 e 1 e la somma delle probabilità di tutti gli esiti di un evento è 1 ossia la probabilità è una funzione NORMALIZZATA a 1. Esistono molte diverse distribuzioni di probabilità. Intanto esse si possono suddividere in continue e discrete a seconda che la variabile x sia rappresentata da un numero intero o da un numero reale. Le distribuzioni di probabilità dei primi due esempi sono discrete, la terza è continua. Per approfondire scarica la presentazione sulle distribuzioni statistiche.

Distribuzione discreta binomiale: $\Large P(n,k) = \left( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{(n-k)}$ che rappresenta la probabilità che su n prove si verifichino k successi sapendo che ogni successo ha la probabilità p di realizzarsi e q = 1-p di non realizzarsi. Il coefficiente $\left( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \right)$ si chiama coefficiente binomiale e vale: $\Large \frac{n!}{k! (n-k)!}$. Si utilizza quando un evento ha due possibilità come il lancio di una moneta che può essere Testa o Croce o un petardo che scoppia o non scoppia. Per esempio la probabilità dell'esempio 1 di 7 T e 3 C è: P(7T, 10 lanci) = 120 (0.5)^7 (0.5)^3 = 11,7 %

Distribuzione discreta di Poisson: $\Large P(x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$ che rappresenta la probabilità che un dato evento si verifichi x volte quando mediamente si verifica $\lambda$ volte. Il numero $e$  è il numero di Nepero-Eulero e vale circa 2,718. Nel secondo esempio se la media $\lambda$ fosse di 2 incidenti ogni 50000 km la probabilità sarebbe P(1) = 2,718^(-2) 2^1 /1! = 27,1 %. E' molto utilizzata quando gli eventi $x$ sono mediamente rari (da 0 a 6-7 volte).

Distribuzione continua di Gauss: $\Large P(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$ E' detta anche distribuzione normale. è la deviazione standard e misura quanto i dati sono dispersi, ossia vicini o lontani dalla media. $\Large�\mu$ è il valore medio della distribuzione. E' la più importante di tutte perchè si può dimostrare che la binomiale e la Poissoniana tendono a quella di Gauss per x e k tendenti all'infinito (ossia molto grandi). Inoltre il cosiddetto teorema del limite centrale afferma che se anche alcune grandezze sono distribuite secondo la 1) o la 2), le loro medie sono distribuite secondo quella di Gauss. Fra le sue tante applicazioni è da ricordare in fisica che le misure di una grandezza affetta solo da errori casuali, si distribuiscono secondo una gaussiana centrata sul valore “vero” della grandezza.

Distribuzione discreta di Benford: $\Large P(n) = log_{10}\left( 1+\frac{1}{n}\right)$ E' nota anche come legge della prima cifra . E' una distribuzione che descrive la probabilità che un numero presente in molte raccolte di dati reali, per es. popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località, cominci con una data cifra ad esempio 1. Per essa la distribuzione di Benford prevede una probabilità pari ossia del 30,1% circa. Una breve e intuitiva spiegazione del perché accade ciò ossia che la cifra 1 si presenti con maggior frequenza, poi la cifra 2 e così via, è dato dal fatto che noi contiamo a iniziare dal numero 1 in avanti sino al 9. Se proviamo a pensare alle cifre da 1 a 9 è chiaro che abbiamo le stesse probabilità che una cifra inizi con 1 o 2 o 3 o 9. Se, però, prendiamo già i numeri da 1 a 20 ecco che da 11 a 19 ho molti più numeri che iniziano con la cifra 1. Se prendiamo quelli da 1 a 30 ne ho molti che iniziano con 1 ma anche con 2. Come si può facilmente notare, per avere numeri che inizino con 9, ad es, devo andare molto in là con i numeri e quindi aumento anche la quantità di quelli che inizieranno con 1 o con 2 e quindi con cifre basse, per cui in una distribuzione di numeri legati a superfici, popolazioni, sarà più alta la probabilità di averne che inizino con 1 piuttosto che con 9. La cosa comunque singolare è che Benford riuscì a far vedere che per molte distribuzioni, la probabilità che un numero inizi con una certa cifra tra 1 e 9 è sempre la stessa (30,1% per la cifra 1, 17,6% per la cifra 2, 4,6% per la cifra “9”).