Roberto Fantini

Il campo magnetico

Roberto — Thu, 16 Feb 2012 21:48:42 +0000

Il magnetismo è affascinante e straordinariamente utile. Pensiamo a quanto il campo magnetico sia stato e sia tuttora importante.

Come si potrebbe, per esempio, fare a meno di un ventilatore in una calda giornata d'estate, o di un fanale da bicicletta alimentato dalla dinamo in una buia strada di campagna, o di uno dei tanti relè che ci aprono porte o ci accendono luci a distanza? E come avrebbero potuto orientarsi i marinai del secolo scorso in mezzo alle immensità oceaniche o come farebbero i grandi uccelli migratori a coprire migliaia di chilometri senza punti di riferimento sicuri e stabili? Ebbene tutto ciò sarebbe impossibile senza i campi magnetici.

Al campo magnetico è legata anche una sfida storica di circa 100 anni fa e precisamente quando il norvegese Roald Amundsen vinse la gara per chi raggiungeva per primo il polo Sud geografico (molto lontano da quello magnetico) contro il britannico Robert Scott.

Il primo raggiunse il polo Sud il 14 dicembre 1911, ben 35 giorni prima della spedizione di Scott. La gara ebbe però un esito tragico. La spedizione di Scott perì tra i ghiacci dell'antartide in mezzo a mille sofferenze. Uno dei tanti errori commessi da Scott fu quello di usare dei pony anziché dei cani da slitta per il trasporto della merce. I cavalli, non abituati a tali temperature estreme, morirono dopo pochi chilometri dalla partenza e gli uomini dovettero trainarsi dietro tutta l'attrezzatura e i viveri da soli spesso lasciando metà del peso per strada e per andarlo a riprendere dopo un breve tragitto.

Per approfondire, leggi l'articolo su: Aula di scienze di Zanichelli
BLOG: Scienze fisiche e naturali

Fra Camogli, scolarette e commessi viaggiatori

Roberto — Wed, 15 Feb 2012 14:13:17 +0000

Per una strada che porta a Camogli vidi un uomo che aveva 7 mogli e ogni moglie aveva 7 sacche e ogni sacca conteneva 7 gatte e ogni gatta 7 gattini. Fra gatti e gatte, sacche, uomini e mogli in quanti andavano a Camogli? La risposta sembra complicata dal grande numero di personaggi: 1 uomo + 7 mogli + 7*7 sacche + 7*7*7 gatte + 7*7*7*7 gattini = 2801.

In realtà la risposta è molto più semplice: se leggiamo con attenzione l'ultima riga, si chiede in quanti ANDAVANO a Camogli mentre all'inizio si dice che il soggetto vede arrivare la strana combriccola da Camogli, quindi l'unico che va a Camogli è colui che racconta l'episodio. Questo conteggio, fa parte di un argomento molto interessante della matematica: il CALCOLO COMBINATORIO. Esso si occupa di contare in quanti modi diversi si possono permutare, disporre, o scegliere degli oggetti in determinati insiemi.

Cinque persone che chiameremo A, B, C, D, E devono sedersi in 5 poltroncine numerate da 1 a 5 presenti in un vagone ferroviario. In quanti modi diversi possono farlo? Nella poltroncina 1 può sedersi indifferentemente A, B, … E e si hanno 5 scelte possibili; nella poltroncina 2 può sedersi indifferentemente una delle 4 persone rimaste e quindi si hanno 4 scelte possibile per ognuna delle 5 fatte precedentemente; nella poltroncina 3 può sedersi indifferentemente una delle 3 persone rimaste e quindi si hanno 3 scelte possibile per ognuna delle 5 x 4 fatte precedentemente; continuando così si ottengono

$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$ modi diversi. La scrittura

$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$ si abbrevia in 5! (5 fattoriale). Si pone per definizione: 0! = 1.

Il fattoriale di un numero cresce molto rapidamente all'aumentare del numero stesso. Si pensi solo che 10! = 3628800 e che 69! è un numero così grande da non essere rappresentabile nelle calcolatrici tascabili perchè eccede la loro capacità di memoria essendo più grande di $10^{99}$ .

n! rappresenta le permutazioni di n oggetti distinti. Un altro conteggio tipico che si fa utilizzando il fattoriale di un numero è il calcolo del numero degli anagrammi possibili con n lettere diverse contando anche le parole senza un senso compiuto.

A volte l'ordine non è importante. Pensiamo per esempio in quanti modi diversi posso scegliere 4 studenti da interrogare in una classe di 20. Questo tipo di calcolo si chiama in generale combinazione di n oggetti presi a k a k e si scrive: $\Large C_{n,k} = \frac{n!} {k! \cdot (n-k)!}$ . Nel nostro caso esistono $\Large C_{20, 4} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} = 4845$ modi diversi di scegliere 4 studenti da interrogare in una classe di 20.

Un altro caso tipico è nel gioco del superenalotto. Quante sono per esempio le sestine possibili che si possono ottenere estraendo 6 numeri da un insieme di 90 numeri diversi. In questo caso l'ordine non conta e la risposta è $\Large C_{90,6} = \frac{90!} {6!\cdot 84!} = 622614630$

Se nelle combinazioni del lotto o del superenalotto l'ordine dei numeri estratti non conta, in certi contesti, come nelle gare, l'ordine è fondamentale. Quando si scommette sui cavalli per esempio e si gioca la tris vincente 4-7-2, significa che l'esatto ordine di arrivo dei cavalli è stato: 1° classificato cavallo n° 4; 2° classificato cavallo n° 7; 3° classificato cavallo n° 2.

Anche in questo caso esiste un simbolo appropriato che esprime il numero di modi disporre n oggetti distinti a k a k: $\Large D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} = n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)$ . Se per esempio avessimo 10 cavalli, esisterebbero $\Large D_{10,3} = \frac{10!}{7!} = 10\cdot9\cdot8 = 720$ tris. Come si vede dalle formule, le disposizioni semplici di n oggetti a k a k sono legate alle combinazioni dalla relazione: $\Large D_{n,k} = C_{n,k}\cdot k!$ .

Esistono anche le disposizioni con ripetizione. Per esempio nel gioco del totocalcio si deve scegliere per ognuna delle 13 partite in schedina uno dei 3 simboli 1 X 2 per la vittoria della squadra di casa, il pareggio o la sconfitta. Per la prima partita si hanno 3 possibilità, per ognuna di questa se ne anno altre 3 per la seconda e così via. In totale si hanno $3^13$ colonne diverse per la bellezza di 1594323 colonne. In generale se si hanno n simboli da distribuire su k celle (con k anche maggiore di n) si ha la formula: $\Large d_{n,k} = n^k$

Il problema di Kirkman

Roberto — Mon, 13 Feb 2012 16:30:51 +0000

E veniamo ora al problema di Kirkman.
Thomas Kirkman era un reverendo inglese del XIX secolo che propose nel 1850 un problema interessante chiamato delle “15 scolarette” che vanno in chiesa in 5 file di 3 tutti i giorni della settimana. Per evitare che due ragazze procedano insieme per più di una volta, bisogna organizzare in programma giornaliero. Usando i numeri da 1 a 15 per indicare le scolarette, una possibile soluzione è data dalla seguente tabella:

Tutte le altre 6 soluzioni si ottengono da questa permutando ciclicamente i primi 7 numero fra di loro (01->02; 02->03; ...06->07; 07->01), così come i numeri dall'8 al 14, mentre il 15 rimane fisso.

Il problema del commesso viaggiatore

Roberto — Mon, 13 Feb 2012 16:20:40 +0000

The Traveling Salesman Problem

Il problema del commesso viaggiatore consiste nel trovare il percorso più breve che passi per tutte le città di un elenco dato e ritorni al punto di partenza. Per percorso minimo si intende quello di costo minore per ogni coppia di città. Un’altra semplificazione che si aggiunge è quella di considerare i costi per andare dalla città A alla B uguali ai costi per andare dalla B alla A. In questo caso si parla di problema simmetrico.

La semplicità della definizione del problema è ingannevole, in realtà il TSP è uno dei problemi di matematica computazionale più studiati e non se ne conosce un effettivo metodo risolutivo per il caso generale, infatti c’è in palio, per chi vi riesca, un premio di un milione di dollari promosso da il Clay Mathematics Institute. Da cinquant’anni a questa parte gli studi hanno portato allo sviluppo di vari metodi di soluzione in diversi campi dell’ottimizzazione matematica.
Il numero totale dei differenti percorsi possibili attraverso le n città è facile da calcolare: data una città di partenza, ci sono a disposizione (n-1) scelte per la seconda città, (n-2) per la terza e così via. Il totale delle possibili scelte tra le quali cercare il percorso migliore in termini di costo è dunque (n-1)!, ma dato che il problema ha simmetria, questo numero va diviso a metà.

Insomma, date n città, ci sono (n-1)!/2 percorsi che le collegano.

Si vede subito che questo numero cresce esponenzialmente all’aumentare di n, e questo è il motivo più citato per motivare la complessità del problema: non è possibile, infatti, controllare uno alla volta i singoli percorsi.

Programma di Matematica di 5Bb

Roberto — Fri, 10 Feb 2012 11:47:17 +0000

PRIMA PARTE

Durante questa pausa forzata, studiate questi argomenti da pag 139V a 156V;

ESERCIZI:

1, 2, 3, 5, 6, 20-31, 33, 39, 66-71, 127-132 da pag. 171V

Massimi e minimi relativi e assoluti: definizione;
Concavità: definizione;
Flesso: definizione;
Ricerca dei massimi e minimi e flessi orizzontali con lo studio del segno della derivata prima;
Ricerca dei flessi con lo studio del segno della derivata seconda;

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SECONDA PARTE

Problemi di massimo e di minimo

Come avete sperimentato risolvendo gli esercizi precedenti, lo studio del segno della derivata prima di una funzione derivabile, permette di trovare i suoi massimi e minimi relativi ed assoluti.

Con questa tecnica si risolve anche tutta una classe di problemi chiamati “Problemi di massimo e di minimo”. Essi possono essere di varia tipologia: geometria analitica, geometria piana o solida, fisica, economica ….

Facciamo un esempio semplice.
Fra tutti i rettangoli di perimetro dato, trovare quello di area massima.

Si scrivono i dati del problema: 2p = 2 (b + h). b e h sono rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo; 2p il suo perimetro è NOTO.
Si scrive la funzione da massimizzare o minimizzare, in questo caso l'area del rettangolo: A=b*h.
Come si vede la funzione Area dipende apparentemente da 2 variabili (b e h) che però non sono indipendenti fra loro perchè deve valere la 1). Si sceglie allora di indicare con x una delle variabili (per esempio la base b) ed esprimere l'altra in funzione di x facendo uso dei dati.
b = x; h = p – x; si deve anche stabilire entro quale intervallo varia la x. In questo caso si ha ovviamente: 0 < x < p (rifletteteci)

Ora la funzione Area diventa: A(x) = x*(p-x). Si cerca il valore massimo con il solito metodo.

A'(x) = -2x + p che si annulla in x = p/2, valore in cui la funzione ha un massimo. Notare che 0< p/2 Massimo per:

x = b = p/2 e h = p – x = p/2

In conclusione il rettangolo di dato perimetro, di area massima è il QUADRATO (poichè b=h).

STUDIARE: Teoria pagg. 160V 163V

ESERCIZI: 245, 248, 251, 255, 259, 262, 269, 284, 286 da pag 199V

M. Hack su stelle, pianeti e vita nell'Universo

Roberto — Fri, 10 Feb 2012 11:16:30 +0000

Un tema sempre nuovo e affascinante.

SIAMO SOLI NELL'UNIVERSO ?

Questa domanda è stata sottoposta alla grande astrofisica italiana Margherita Hack ed ecco le sue risposte che non sono mai scontate o banali.

Un compleanno fra amici

Roberto — Tue, 07 Feb 2012 18:04:58 +0000

Immaginiamo di trovarci in classe e, anziché ascoltare una noiosa lezione di latino, pensiamo se e quanti compagni sono nati lo stesso giorno. A prima vista sembra molto improbabile che due alunni della stessa classe compiano gli anni lo stesso giorno, ma un calcolo diretto mostra che si ha una probabilità di più del 50% se la classe è composta da almeno 23 studenti.

Vediamo come è possibile spiegare questo apparente paradosso. La probabilità di un evento, nella sua definizione classica, è il rapporto fra i casi favorevoli e i casi possibili. La probabilità che 2 amici compiano gli anni lo stesso giorno è 1/365 perchè c'è 1 caso favorevole su 365 possibili. Di conseguenza, la probabilità che compiano gli anni lo stesso giorno è $\Large 1 - \frac{1}{365}= \frac{364}{365}$ . Aggiungiamo ora un terzo amico. La probabilità che egli compia gli anni in uno dei due giorni dei precedenti amici è 2/365 e quindi c'è la probabilità di 1- 2/365 = 363/365 che non compia gli anni lo stesso giorno. In definitiva, la che tutti e tre gli amici non compiano gli anni lo stesso giorno è: $\Large \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} = 99.18%�$ . E' ancora alta, ma procedendo di questo passo fino al 23° compagno, si ottiene che la probabilità che due amici qualunque festeggino lo stesso giorno è del 50,7 %. Il “trucco” di questo calcolo apparentemente paradossale sta nel fatto che il compleanno può essere di qualunque con chiunque altro ed è per questo che la probabilità è già alta con solo 23 persone.

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Diverso è il discorso se si calcola quale sia la probabilità che un compagno di classe compia gli anni lo stesso giorno di Margherita. Questa probabilità è 1/365 e quindi è di 364/365 che non lo compia.

Un altro amico ha ancora la probabilità di 1/365 di compierlo e quindi 364/365 di non compierlo. Insieme i due amici hanno la probabilità $\large \left( \frac{364}{365} \right)^2$ di non compierlo. Se procediamo in questo modo nella classe di 23 alunni, la probabilità che uno qualunque dei k amici compia gli anni nello stesso giorno di Margherita è $\Large P(k)=1-\left( \frac{364}{365} \right)^k$ . Se sostituiamo k = 22 otteniamo un misero 5,9 % molto più verosimile e vicino al senso comune.

Le distribuzioni di probabilità

Roberto — Sun, 05 Feb 2012 17:50:29 +0000

Qual è la probabilità che su 10 lanci di una moneta escano 7 Teste e 3 Croci? E qual è la probabilità che percorrendo 50000 km in automobile si faccia 1 incidente? Infine qual è la probabilità che preso un uomo a caso esso pesi fra 70,5 e 70,9 kg? La statistica è una branca importante della matematica e di grande attualità e concretezza soprattutto in campo assicurativo. Se indichiamo con x un dato evento (per esempio uno dei tre precedenti) si chiama distribuzione di probabilità P(x) la funzione che fornisce la probabilità che tale evento x si verifichi. La probablità gode di due proprietà: è sempre un numero compreso fra 0 e 1 e la somma delle probabilità di tutti gli esiti di un evento è 1 ossia la probabilità è una funzione NORMALIZZATA a 1. Esistono molte diverse distribuzioni di probabilità. Intanto esse si possono suddividere in continue e discrete a seconda che la variabile x sia rappresentata da un numero intero o da un numero reale. Le distribuzioni di probabilità dei primi due esempi sono discrete, la terza è continua. Per approfondire scarica la presentazione sulle distribuzioni statistiche.

Distribuzione discreta binomiale:

$\Large P(n,k) = \left( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{(n-k)}$ che rappresenta la probabilità che su n prove si verifichino k successi sapendo che ogni successo ha la probabilità p di realizzarsi e q = 1-p di non realizzarsi. Il coefficiente

$\left( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \right)$ si chiama coefficiente binomiale e vale:

$\Large \frac{n!}{k! (n-k)!}$ . Si utilizza quando un evento ha due possibilità come il lancio di una moneta che può essere Testa o Croce o un petardo che scoppia o non scoppia. Per esempio la probabilità dell'esempio 1 di 7 T e 3 C è: P(7T, 10 lanci) = 120 (0.5)^7 (0.5)^3 = 11,7 %

Distribuzione discreta di Poisson:

$\Large P(x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$ che rappresenta la probabilità che un dato evento si verifichi x volte quando mediamente si verifica

$\lambda$ volte. Il numero

$e$ è il numero di Nepero-Eulero e vale circa 2,718. Nel secondo esempio se la media

$\lambda$ fosse di 2 incidenti ogni 50000 km la probabilità sarebbe P(1) = 2,718^(-2) 2^1 /1! = 27,1 %. E' molto utilizzata quando gli eventi

$x$ sono mediamente rari (da 0 a 6-7 volte).

Distribuzione continua di Gauss:

$\Large P(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$ E' detta anche distribuzione normale. è la deviazione standard e misura quanto i dati sono dispersi, ossia vicini o lontani dalla media.

$\Large�\mu$ è il valore medio della distribuzione. E' la più importante di tutte perchè si può dimostrare che la binomiale e la Poissoniana tendono a quella di Gauss per x e k tendenti all'infinito (ossia molto grandi). Inoltre il cosiddetto teorema del limite centrale afferma che se anche alcune grandezze sono distribuite secondo la 1) o la 2), le loro medie sono distribuite secondo quella di Gauss. Fra le sue tante applicazioni è da ricordare in fisica che le misure di una grandezza affetta solo da errori casuali, si distribuiscono secondo una gaussiana centrata sul valore “vero” della grandezza.

Distribuzione discreta di Benford:

$\Large P(n) = log_{10}\left( 1+\frac{1}{n}\right)$ E' nota anche come legge della prima cifra . E' una distribuzione che descrive la probabilità che un numero presente in molte raccolte di dati reali, per es. popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località, cominci con una data cifra ad esempio 1. Per essa la distribuzione di Benford prevede una probabilità pari ossia del 30,1% circa. Una breve e intuitiva spiegazione del perché accade ciò ossia che la cifra 1 si presenti con maggior frequenza, poi la cifra 2 e così via, è dato dal fatto che noi contiamo a iniziare dal numero 1 in avanti sino al 9. Se proviamo a pensare alle cifre da 1 a 9 è chiaro che abbiamo le stesse probabilità che una cifra inizi con 1 o 2 o 3 o 9. Se, però, prendiamo già i numeri da 1 a 20 ecco che da 11 a 19 ho molti più numeri che iniziano con la cifra 1. Se prendiamo quelli da 1 a 30 ne ho molti che iniziano con 1 ma anche con 2. Come si può facilmente notare, per avere numeri che inizino con 9, ad es, devo andare molto in là con i numeri e quindi aumento anche la quantità di quelli che inizieranno con 1 o con 2 e quindi con cifre basse, per cui in una distribuzione di numeri legati a superfici, popolazioni, sarà più alta la probabilità di averne che inizino con 1 piuttosto che con 9. La cosa comunque singolare è che Benford riuscì a far vedere che per molte distribuzioni, la probabilità che un numero inizi con una certa cifra tra 1 e 9 è sempre la stessa (30,1% per la cifra 1, 17,6% per la cifra 2, 4,6% per la cifra “9”).

E se il tempo non esistesse?

Roberto — Tue, 17 Jan 2012 18:57:30 +0000

Cosa intendiamo quando parliamo di tempo?

In fisica il tempo è una grandezza fondamentale la cui unità di misura è il secondo. Come tutte le grandezze fisiche essa deve essere misurata con degli strumenti che in questo caso sono ovviamente gli orologi.

Per sapere quanto tempo è passato, cioè per misurare il tempo, guardiamo un orologio. La posizione delle lancette misura quanto tempo è passato da un certo istanzte iniziale. Ma come faccio a sapere se il mio orologio misura realmente il tempo "vero" ? Lo posso confrontare con "l'ora esatta" diramata da un centro ufficiale, dove c'è un orologio molto più preciso del mio. Ma ancora: come faccio a essere sicuro che quell'orologio misura il tempo "vero"? Lo confronto con un altro orologio ancora ...
E' chiaro che c'è un problema.

Tutto quello che noi osserviamo sono lancette di orologi, numeri che aumentano, oggetti che si muovono (come il moto apparente del sole nel cielo). Non vediamo mai il "vero tempo". Vediamo solo che qualcosa si muove o cambia.

Newton, il padre della fisica assieme a Galileo, aveva compreso tutto ciò con grande chiarezza scrivendo che l'esistenza della variabile tempo è solo un' "ipotesi" che mette ordine nelle nostre osservazioni sui movimenti degli oggetti. In pratica, osserviamo dove si trova un oggetto quando un altro è in un certo luogo (per es. quando le lancette del mio orologio sono in verticale o quando il sole è al tramonto ...) e per convenienza immaginiamo una variabile fisica "t" che ordini tutto questo, ma ciò che osserviamo sono solo posizioni di oggetti, non il tempo in sè.

Prendendo sul serio questa osservazione, è chiaro che potremmo fare a meno di parlare di tempo e fare riferimento solo alla posizione del solo o alla posizione delle lancette o a un numero su un display. Scomodo ma possibile.

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Nell'ambito di questa ricerca, si è affacciata un'idea a prima vista vertiginosa: forse il tempo non esiste. L'idea è apparsa per la prima volta nel 1967 in un articolo del fisico americano Bryce DeWitt, scomparso da poco. Combinando relatività generale e meccanica quantistica, DeWitt riuscì a derivare l'abbozzo di un'equazione capace di descrivere le proprietà quantistiche dello spazio, ma nell'equazione è sparita del tutto la variabile t, il tempo. La matematica sembra indicare che per descrivere il mondo a livello elementare, non è necessario usare il tempo. Si potrebbe cioè descrivere il mondo a livello fondamentale dando l'evoluzione delle variabili una rispetto all'altra invece che rispetto al tempo. Facile da capire? No. La concezione usauale del tempo è radicata nella nostra esperienza quotidiana e profondamente sedimentata nella nostra struttura concettuale. Ma difficile non vuol dire impossibile: la difficoltà di cocepire un mondo senza tempo non è poi così diversa dalla difficoltà che hanno avuto i nostri antenati a immaginare una Terra sferica con gli abitanti degli antipodi a testa in giù, dove non c'è più un alto o un basso o un veloce o lento uguale per tutti. Aveva ragione Kant a osservare che tempo e spazio più che essere nella natura sono forme a priori del nostro pensiero che tenta di conoscerle, ma aveva torto a concludere che fossero immutabili: le forme del nostro conoscere crescono e si modificano con la nostra conoscenza. Il tempo, il "fanciullo che gioca e muove le pedine" come lo chiamava Eraclito, non è quel fluire uguale a se stesso che Newton ha posto alla base della sua fisica. Forse il fluire del nostro tempo nasce dalla nostra interazione con il mondo: a un livello di base la nozione di tempo potrebbe non servire. Carlo Rovelli 15 gennaio 2012 Centre de Physique Theorique de Luminy

I pianeti sono tantissimi

Roberto — Wed, 11 Jan 2012 22:44:40 +0000

Trovare un pianeta in orbita intorno ad una stella è la regola e non l'eccezione

11 gennaio 2012

Un'equipe internazionale, che include tre astronomi dell'ESO (European Southern Observatory), ha usato la tecnica delle "microlenti gravitazionali" per misurare quanto siano diffusi i pianeti nella Via lattea. Dopo una ricerca durata sei anni in cui ha valutato milioni di stelle, l'equipe ha concluso che trovare un pianeta intorno ad una stella è la regola e non l'eccezione. I risultati saranno pubblicati dalla rivista Nature il 12 gennaio 2012.

ESO

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Negli ultimi 16 anni, gli astronomi hanno confermato la scoperta di più di 700 esopianeti [1] e hanno iniziato a analizzarne lo spettro (eso1002) e l'atmosfera (eso1047). Anche se studiare le proprietà di questi singoli esopianeti è innegabilmente importante, rimane una domanda fondamentale: quanto sono comuni i pianeti nella Via Lattea? La maggior parte degli esopianeti oggi noti sono stati trovati osservando l'effetto dell'attrazione gravitazionale esercitata dal pianeta sulla sua stella madre o catturando il passaggio del pianeta davanti alla stella che ne affievolisce un poco il bagliore. Entrambe queste tecniche sono più sensibili ai pianeti massicci, o vicini alla stella, o entrambi. Molti pianeti vengono perciò persi. Un'equipe internazionale di astronomi ha cercato gli esopianeti con una tecnica completamente diversa -- le microlenti gravitazionali -- che può scoprire pianeti su un ampio intervallo di masse e soprattutto quelli che orbitano lontani dalla stella. Arnadu Cassan (Institut d?Astrophysique di Parigi), primo autore dell'articolo su Nature, spiega: "Abbiamo cercato per sei anni le prove della presenza di esopianeti con osservazioni di microlenti. Questi dati mostrano sorprendentemente che i pianeti sono più comuni delle stelle nella nostra galassia. Abbiamo trovato anche che i pianeti più leggeri, come super-Terre, o Nettuni freddi, devono essere più frequenti di quelli più pesanti". Gli astronomi hanno usato osservazioni, fornite dai gruppi PLANET [2] e OGLE [3], in cui gli esopianeti sono rivelati dal modo in cui il campo gravitazionale della stella ospite, combinato con quello dei possibili pianeti, funge da lente, aumentando la luce di una stella sullo sfondo. Se intorno alla stella che funge da lente è in orbita un pianeta, questo può contribuire in modo significativo all'effetto di aumento della luce della stella di fondo. Jean-Philippe Beaulieu (Institut d'Astrophysique di Parigi), a capo della collaborazione PLANET, aggiunge: "La collaborazione PLANET è stata istituita per seguire eventi di microlente gravitazionale con una rete di telescopi mondiale localizzata nell'emisfero australe, dall'Australia al Sud Africa, al Cile. I telescopi dell'ESO hanno contribuito in modo significativo a queste ricerche". Le microlenti sono uno strumento potente, con il potenziale per rivelare esopianeti che non potranno mai essere trovati in altri modi. È però necessario che la stella di fondo e la stella lente siano casualmente allineate perchè si verifichi un evento di microlente. Per individuare il pianeta durante l'evento è necessario inoltre anche l'allineamento dell'orbita del pianeta stesso. Anche se trovare un pianeta per mezzo dell'effetto di microlente non è per nulla facile, per le ragioni suddette, nei sei anni di dati di PLANET e di OGLE usati nell'analisi sono stati rivelati tre esopianeti: una super-Terra [4] e due pianeti di massa confrontabile con Nettuno e Giove. Per quanto riguarda gli standard delle microlenti questo è un risultato davvero impressionante. Scoprendo tre pianeti gli astronomi sono stati fortunatissimi per aver fatto centro nonostante le scarse probabilità, oppure i pianeti sono così abbondanti nella Via Lattea che il risultato era praticamente inevitabile [5]. Gli astronomi hanno quindi combinato le informazioni sui tre esopianeti osservati con le sette osservazioni precedenti, così come con l'enorme numero di "non-rivelazioni" presente nei sei anni di dati -- le non-rivelazioni sono altrettanto importanti per l'analisi statistica e sono molto più numerose. In conclusione, una ogni sei stelle studiate ospita un pianeta di massa simile a quella di Giove, la metà ha un pianeta di massa pari a Nettuno e due terzi ospitano super-Terre. La ricerca era sensibile a pianeti che si trovano tra i 75 milioni e 1,5 miliardi di chilometri dalla stella (nel Sistema Solare questo corrisponde a tutti i pianeti tra Venere e Saturno) e con masse che vanno da 5 volte la Terra fino a dieci volte Giove. Combinando questi risultati si giunge alla conclusione che il numero medio di pianeti intorno ad una stella sia maggiore di uno: essi sono la regola piuttosto che l'eccezione. "Pensavamo che la Terra fosse unica nella nostra galassia. Ora sembra che ci siano letteramente miliardi di pianeti di massa simile a quella della Terra in orbita intorno a stelle della Via Lattea", conclude Daniel Kubas, co-autore dell'articolo.